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            張拉膜結構力密度法混合找形分析-項目案例-污水池加蓋-反吊膜|膜加蓋-除臭加蓋-膜結構公司-上海華喜膜結構工程有限公司
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            張拉膜結構力密度法混合找形分析

            發布時間:2021年12月20日 點擊數:27

            1 引 言

            力密度法找形, 是通過給定索網的內力與桿長的比值, 即力密度值, 由靜力平衡方程, 得到關于結點坐標的線性方程組, 從而將一個非線性的問題轉變成線性問題求解[1,2,3,4]。如果在找形過程中, 考慮支承體系的作用, 結構就可能存在拉索和壓桿單元, 這些單元是不能夠用力密度來控制內力, 而必須由彈性變形來控制其內力。在用力密度法找形中, 同時考慮彈性的拉索和壓桿, 這部分研究報道不多見。本文將采用力密度法理論, 部分單元由力密度控制, 部分單元由彈性控制的找形, 稱之為力密度法混合找形。一般情況下找形, 膜網內部單元和邊索單元由力密度控制, 起支撐作用的拉索和壓桿單元由彈性控制;旌险倚蔚奶攸c是由力密度控制的單元采用線性求解, 由彈性控制的單元采用非線性求解, 兩者之間通過連接的結點由位移協調條件和力的平衡條件, 迭代計算逐步求解。

            本文論述了張拉膜結構力密度法混合找形的基本理論, 導出了相關的迭代計算公式, 據此編制了相應的計算軟件;對工程實例進行了驗算, 結果表明, 本文給出的計算結果與德國著名軟件easy的計算結果相吻合。

            2 基本方程

            2.1 力密度法基本方程

            設結構由m個單元n個結點組成, 單元結點坐標差為

            uj=xi-xkvj=yi-ykwj=zi-zk (1)

            其中 ik分別為單元j的終端結點和始端結點。

            單元結點坐標差向量的矩陣形式為

            u=Cxv=Cyw=Cz (2)

            其中 C為單元-結點拓撲關系矩陣, 其形式見文獻[3]。

            力密度法找形結點平衡方程可表示為

            CTQCx=PxCTQCy=PyCTQCz=Pz (3)

            其中 PxPyPz為結點荷載, Q為力密度矩陣。

             


            其中 Njlj分別為第j單元的內力和桿長, qj為第j單元的力密度。

            2.2 力密度法線性方程

            如果單元全部由力密度控制, Q為常數, 其中自由結點數為nf, 固定結點數為ng, 則結點平衡方程為

            [CTfCTg]Q[Cf Cg]{xfxg}={0Pxg} (5)[CfΤCgΤ]Q[CfCg]{xfxg}={0Ρxg}(5)

            可展開得

            CTfQCfxf=-CTfQCgxg (6)

            CTgQCfxf+CTgQCgxg=Pxg (7)

            其中 xfxg為自由結點向量和固定結點向量, Cf為單元-自由結點拓撲關系矩陣, Cg為單元-固定結點拓撲關系矩陣。

            xg為已知, 求解式 (6) 可得xf;再將xf代入式 (7) 可得到固定結點反力Pxg。

            同理可由其他兩個方向展開的結點平衡方程。

            CTfQCfyf=-CTfQCgyg (8)

            CTgQCfyf+CTgQCgyg=Pyg (9)

            CTfQCfzf=-CTfQCgzg (10)

            CTgQCfzf+CTgQCgzg=Pzg (11)

            求解得到另外兩個方向的坐標值及固定結點反力。

            2.3 力密度法非線性方程

            如果單元為彈性控制, Q不再為常數, 式 (3) 將是非線性方程。第j單元桿長:

            lj=(xixk)2+(yiyk)2+(zizk)2=(u2j+v2j+w2j)1/2 (12)lj=(xi-xk)2+(yi-yk)2+(zi-zk)2=(uj2+vj2+wj2)1/2(12)

            可以寫成向量形式或矩陣形式:

            l= (u2+v2+w21/2 (13)

            L= (U2+V2+W21/2 (14)

            其中 l為單元桿長列向量, L為單元桿長對角矩陣。

            力密度矩陣可表示為

            Q=H (L-10-L-1) (15)

            其中 L-10為單元原長倒數對角矩陣, H為單元彈性剛度對角矩陣, 其對角元素hjj單元的抗拉剛度。

            hj=EjAj (16)

            因此, 方程 (3) 可寫成下列非線性方程:

            Fx=CTH(L10L1)CxPx=0Fy=CTH(L10L1)CyPy=0Fz=CTH(L10L1)CzPz=0 (17){Fx=CΤΗ(L0-1-L-1)Cx-Ρx=0Fy=CΤΗ(L0-1-L-1)Cy-Ρy=0Fz=CΤΗ(L0-1-L-1)Cz-Ρz=0(17)

            采用牛頓迭代法解上述非線性方程組, 對于第i次迭代

            ΔxiΔyiΔzi=K1iFxiFyiFzi (18)[ΔxiΔyiΔzi]=-Κi-1[FxiFyiFzi](18)

            其中 Ki為第i次迭代的雅可比矩陣,

            Ki=CTCTCT[HL3U2+H(L10L1)HL3UVHL3V2+H(L10L1) HL3UWHL3VWHL3W2+H(L10L1)iΚi=[CΤCΤCΤ][ΗL-3U2+Η(L0-1-L-1)ΗL-3UVΗL-3V2+Η(L0-1-L-1)ΗL-3UWΗL-3VWΗL-3W2+Η(L0-1-L-1)]i

            CCC (19)[CCC](19)

            則結點坐標的迭代計算公式為

            xi+1=xixiyi+1=yiyizi+1=zizi (20)

            3 工程算例

            根據以上建立的計算公式, 本文編制了相應的計算軟件, 并對兩個工程實例進行了計算和分析。

            算例1 馬鞍形膜結構

            廣東中山全球通膜結構小品工程, 膜網格劃分間距為0.2 m, 膜面預應力為1 kN/m, 則膜網內部力密度值為1 kN/m, 邊索力密度值為14 kN/m。網格劃分, 結點總數為846, 單元總數為1426, 其中, 力密度控制單元1414, 彈性控制單元12;迭代6次, 坐標增量誤差小于8.72×10-7, 找形結果如圖1所示。

            圖1 算例1找形結果

            圖1 算例1找形結果  下載原圖

            Fig.1 The initial shape of example 1

            表1和表2列出算例1的本文與easy軟件找形計算結果的比較。其中表1為固定點反力計算結果;表2為彈性壓桿與拉索力的計算結果。

            算例2 傘形膜結構

            本工程為廣州中海名都膜結構小品工程, 膜網格劃分徑向角度為8°, 環向距離為0.5 m;膜面預應力為1.5 kN/m, 邊索力密度值為30 kN/m, 中間邊索為70 kN/m。網格劃分, 結點總數為676, 單元總數為1198, 其中, 力密度控制單元914, 彈性控制單元284;迭代180次, 坐標增量誤差小于6.55×10-6, 找形結果如圖2所示。

            表1 算例1固定點反力計算結果 (z=0) 導出到EXCEL

            Tab.1 The computational results of the supported forces for example 1



            結點編號

            固定點坐標 (m)
            本文反力計算值 (kN) Easy反力計算值 (kN)
            X Y Fx Fy Fz Fx Fy Fz
            99000011 6.666 4.199 -4.6644 -4.2795 -28.6259 -4.6633 -4.2784 -28.6189

            99000012
            7.449 4.476 -5.0949 0.2476 22.3185 -5.0950 0.2476 22.3188

            99000013
            7.023 4.949 -0.2080 -3.0365 13.4812 -0.2080 -3.0363 13.4805

            99000014
            1.876 5.794 4.6578 -8.7320 -85.8262 4.6560 -8.7297 -85.7953

            99000015
            1.734 7.265 -1.1360 -4.3557 35.0160 -1.1343 -4.3493 34.9679

            99000016
            0.734 6.734 4.1769 -1.4727 34.4388 4.1746 -1.4715 34.4187



            表2 算例1彈性壓桿與拉索力的計算結果 導出到EXCEL

            Tab.2 The forces of elastic elements of example 1



            柱組編號

            本文計算值 (kN)
            Easy計算值 (kN)

            壓桿
            拉索 拉索 壓桿 拉索 拉索

            Z1
            -29.3 13.8 22.9 -29.3 13.8 22.9

            Z2
            -51.0 30.1 22.3 -51.1 30.1 22.3

            Z3
            -51.3 25.1 33.6 -51.3 25.1 33.6



            表3和表4給出算例2的本文與easy軟件找形計算結果的比較。其中表3為固定點支反力;表4為彈性壓桿與拉索力的值。

            由上述計算結果的分析對比可以看出, 本文計算結果與德國著名軟件easy計算的結果, 二者誤差不到千分之一, 足以證明本文推導的結果正確、可靠;因此, 本文編制的膜結構計算軟件完全可以應用于工程設計, 其計算數據格式與easy軟件完全兼容。

            圖2 算例2找形結果

            圖2 算例2找形結果  下載原圖

            Fig.2 The initial shape of example 2

            表3 算例2固定點反力計算結果 (前兩點z=10.4 m;后兩點z=16.4 m) 導出到EXCEL

            Tab.3 The computational results of the supported forces for example 2



            結點編號

            固定點坐標 (m)
            本文反力計算值 (kN) Easy反力計算值 (kN)
            X Y Fx Fy Fz Fx Fy Fz
            99000001 -6.87 0.058 22.8306 14.4747 5.3981 22.8279 14.4751 5.3977

            99000005
            6.87 0.073 -22.8350 14.3220 5.4115 -22.8389 14.3216 5.4118

            99000019
            -3.75 1.85 10.9527 0.1086 -47.6876 10.9535 0.1088 -47.6885

            99000020
            3.75 1.85 -10.9643 0.0889 -47.7050 -10.9643 0.0890 -47.7046



            表4 算例2彈性壓桿與拉索力的計算結果 導出到EXCEL

            Tab.4 The forces of elastic elements of example 2



            柱組編號

            本文計算值 (kN)
            Easy計算值 (kN)

            壓桿
            拉索 拉索 壓桿 拉索 拉索
            Y1SL -14.0 48.9 48.9 -14.0 48.9 48.9

            Y2L1
            -14.0 13.6 5.2 -14.0 13.6 5.2

            L2
            9.3 8.2 9.4 8.2

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